Nous nous intéresserons aux propriétés d'une marche au hasard sur un graphe fini dirigé aléatoire. Nous essaierons de décrire la mesure invariante de cette chaîne de Markov irréversible et d'étudier son temps de mélange. Nous montrerons que sur un graphe typique, cette chaîne satisfait le phénomène de "cut-off". Ce phénomène, proposé par Aldous et Diaconis en 1986, quantifie que la chaîne atteint brusquement un état proche de l'équilibre. Nous discuterons enfin des résultats très préliminaires sur le trou spectral de cette chaîne de Markov. L'essentiel de l'exposé se basera sur un travail commun avec Pietro Caputo et Justin Salez disponible sur http://arxiv.org/abs/1508.06600.
François Delarue, Université Nice Sophia Antipolis
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Jeux à champ moyen
Les jeux à champ moyen ont été introduits il y a une dizaine d'années par Lasry et Lions pour décrire, asymptotiquement, les états d'équilibre au sein de grandes populations de particules ou d'agents économiques en interaction, chacune ou chacun cherchant à minimiser une fonctionnelle d'énergie ou de coût propre ; ici, le mot "asymptotique" renvoie à la limite prise sur le nombre de particules ou d'agents.
L'analyse mathématique comporte plusieurs enjeux, parmi lesquels l'existence d'équilibres asymptotiques, compris comme des lois de probabilité décrivant la distribution de la population à l'équilibre, l'unicité de tels équilibres et, enfin, le lien entre modèles asymptotiques et modèles non-asymptotiques.
Dans cette perspective, j'insisterai sur la notion d'"équation maîtresse" introduite par Lions. L'équation maîtresse est une équation aux dérivées partielles posée sur l'espace des probabilités, dont la solution caractérise l'état de la population à l'équilibre. Je me focaliserai sur les propriétés de cette équation et sur l'utilisation qui peut en être faite pour passer du cadre non-asymptotique au cadre asymptotique.
Sylvie Huet, MaIAGE INRA-Jouy-en-Josas
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Méthodes pénalisées pour la méta-modélisation et l'analyse de sensibilité
La modélisation en biologie repose sur des modèles complexes au sens où ils présentent des composantes fortement non linéaires ou font intervenir un grand nombre de variables d'état et de paramètres au travers d'interactions d'ordre élevé. Il est souvent nécessaire de les simpli er soit pour en comprendre le fonctionnement soit pour optimiser des calculs numériques. La construction d'un modèle simpli é, ou métamodèle, d'un modèle complexe à l'aide d'une décomposition de type ANOVA obtenue par projection sur des espaces de Hilbert auto-reproduisant a été proposée récemment. Le métamodèle doit approcher au mieux le modèle initial tout en restant parcimonieux, et en possédant de bonnes qualités prédictives pour relier les variables de sortie aux variables d'entrée.
En utilisant les outils de l'estimation fonctionnelle sparse par minimisation de critères convexes, les propriétés prédictives des métamodèles ainsi construits peuvent être établies. Par ailleurs, grâce à la décomposition de type ANOVA, et à la sélection des termes intervenant dans cette décomposition par les méthodes de régularisation de type lasso, les indices de sensibilité du métamodèle approchent les indices de sensibilité du modèle complexe initial.
Ce travail a fait l'objet d'une collaboration avec M.L. Taupin (Université d'Evry, Val d'Essonne).
Amaury Lambert, Université Pierre et Marie Curie
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A non-exchangeable coalescent arising in phylogenetics
A popular line of research in evolutionary biology is to use time-calibrated phylogenies in order to infer the underlying process of species diversification. Most models of diversification assume that species are exchangeable and lead to phylogenetic trees whose shape is the same in distribution as that of a Yule pure-birth tree. Here, we propose a non-exchangeable, individual-based, point mutation model of diversification where interspecific pairwise competition (rate d) is always weaker than intraspecific pairwise competition (rate c), and is only felt from the part of individuals belonging to younger species. The only important parameter in this model is d / c, which can also be seen as a selection coefficient.
Eva Löcherbach, Université de Cergy Pontoise
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Spiking neurons : interacting processes with memory of variable or infinite length
We give an overview of recent models proposed to describe large or infinite networks of spiking neurons. These models are constituted by systems of non-Markovian processes with a countable number of interacting components, either in discrete or in continuous time. Each component is represented by a point process indicating the presence of a spike or not at a given time. Each particle's rate (in continuous time) or probability (in discrete time) of having a spike depends on the entire time evolution of the system since the last spike time of the particle. We discuss these models and several theoretical results that have been obtained (existence of a stationary solution, perfect simulation). In a second step, we adopt an equivalent description by means of an associated interacting particle system which is Markovian. We discuss its longtime behavior and study propagation of chaos in mean field systems.
Aurélien Ribes, Centre National de Recherches Météorologiques
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Peut-on prévoir le climat du futur avec des statistiques ?
En 2016, le changement climatique induit par les activités humaines, au premier rang desquelles les émissions anthropiques de gaz à effet serre, est un phénomène physique de mieux en mieux compris et décrit. C'est également un sujet de préoccupation qui s'est invité dans l'agenda politique. Cependant, malgré des modèles numériques de plus en plus précis et gourmands en moyens de calcul, de larges incertitudes persistent dans l'estimation de la sensibilité du climat planétaire à une augmentation de l'effet de serre. Une certaine compétition est ainsi en train d'émerger entre la modélisation physique, d'une part, et l'étude statistique des quelques 150 ans de données disponibiles, d'autre part, pour réduire nos incertitudes sur le climat de demain.
Après un rapide état des lieux sur les connaissances actuelles sur le changement climatique, je présenterais les modèles et méthodes statistiques principalement utilisées dans la communauté afin de traiter cette question - techniques généralement regroupées sous le nom de détection et attribution du changement climatique. Parmi eux se trouvent notamment des modèles de régression sur variables entachées d'erreur (error in variables) originaux. J'aborderais deux problématiques liées à l'inférence dans ces modèles : l'estimation de matrices de variance de grande dimension, et l'estimation - délicate car reposant sur des échantillons non indépendants - des incertitudes des modèles physiques de climat. Enfin, je discuterai brièvement des synergies possibles entre statistiques et sciences du climat.
